二次型化简互动工作台

题目设置

可随机生成，也可直接录入二次型矩阵。矩阵会自动按对称部分处理。

阶数难度

矩阵 A

二次型矩阵必须为实对称矩阵；若输入不完全对称，系统会提示并可取对称部分。

每行输入一行矩阵元素，空格或逗号分隔，支持整数、小数和分数。

二次型按 f(x)=x' A x 显示，交叉项系数为 2aij。

待计算

自己选择合同变换。对变量做列变换时，矩阵同步做同名行变换，即 A -> C'AC。

操作目标 j 来源 i 倍数 k

载入题目后，从一个交叉项开始消去。

这里同时给出 Sylvester 判别、惯性指数和分类结论。

标准答案路径展开/折叠

参考配方法与特征值法的对比，化简时重点看合同变换。

目标	通过可逆线性变换把二次型化为 d1y1²+...+dnyn²。
本工具	用合同变换 A -> C'AC 模拟配方法，得到的系数保持惯性指数。
注意	合同变换通常不是正交变换，不要求保持向量长度和夹角。

原理	实对称矩阵可正交对角化，标准形系数就是全部特征值。
优点	变换有几何意义，适合二次曲面、主轴定理和谱分析。
区别	配方法只需代数运算；特征值法需要求特征方程和正交单位特征向量。

正定	所有顺序主子式 Δ1,...,Δn 全正；等价于标准形系数全正。
负定	(-1)^k Δk 全正；等价于标准形系数全负。
不定	标准形系数有正有负。
半定	标准形系数有零且其余同号；仅靠顺序主子式不总能完整判别。