高等代数知识速查

看到什么：看到题干给出 \(T(e_i)\)、基向量的像、线性变换在某组基下的矩阵。

第一步：先固定基，把第 j 个基向量的像写成坐标列，按列放进矩阵 \(A\)。

看到什么：看到新基、旧基、换基矩阵 \(P\)、同一线性变换在不同基下的矩阵。

第一步：先写清楚 \(P\) 的列：\(P\) 的第 j 列是新基向量在旧基下的坐标。

看到什么：看到求特征值、特征多项式、判断根、矩阵特征系统。

第一步：按课本方法先写出 \(\lambda I\)-\(A\)，再展开 \(det(\lambda I\)-A)。

看到什么：看到已知特征值、求特征向量、求特征子空间、几何重数。

第一步：对每个特征值单独解齐次线性方程组 (A-\(\lambda I)x=0\)。

看到什么：看到判断是否可对角化、求 \(P\) 和 \(D\)、是否存在一组特征向量基。

第一步：先求所有特征值及其特征空间维数，看线性无关特征向量总数是否等于 n。

看到什么：看到 \(A(W)\subseteq W\)、子空间在变换下是否封闭、限制变换。

第一步：取 \(W\) 的一组基，分别乘 \(A\)，检查结果能否由 \(W\) 的基线性表示。

看到什么：看到 \(V=U\oplus W\)、不变子空间直和、分块对角矩阵。

第一步：先分别判断 \(U\)、\(W\) 是否不变，再判断 U+W 是否覆盖全空间且交只有零向量。

看到什么：看到 Jordan 标准形、行列式因子、不变因子、初等因子、Jordan 块大小。

第一步：先写 \(\lambda E\)-\(A\)，求各阶子式的首一最大公因式得到行列式因子，再求不变因子和初等因子。

看到什么：看到正交矩阵、正交变换、保持长度、保持内积、\(Q^TQ\)。

第一步：优先检查列向量：每列长度为 1，不同列内积为 0。

看到什么：看到对称矩阵、二次型、正交对角化、实特征值、不同特征值特征向量正交。

第一步：先判断 \(A^T=A\)，再联系二次型和正交对角化结论。

题目：设 \(T,S\) 是有限维线性空间 \(V\) 上的线性变换。证明：若它们在同一组有序基 \(B=(e_1,\ldots,e_n)\) 下的矩阵相同，则 \(T=S\)。

证明入口：固定一个基向量 \((e_j)\)，解释相同的第 j 列分别表示什么。

关键中间步骤

1. 比较矩阵列：矩阵相同给出 \([T(e_j)]_B=[S(e_j)]_B\)。
2. 回到向量：由坐标唯一性得 \(T(e_j)=S(e_j)\)。
3. 推广到任意向量：若 \(x=Σa_j e_j\)，则 \(T(x)=Σa_jT(e_j)=Σa_jS(e_j)=S(x)\)。
4. 闭合结论：对任意 x 都有 \(T(x)=S(x)\)，故 \(T=S\)。

完整证明

1. 设 \([T]_B=[S]_B\)。对每个 \(j=1,\ldots,n\)，两矩阵第 \(j\) 列相同。
2. 根据矩阵表示的定义，第 \(j\) 列分别为 \([T(e_j)]_B\) 与 \([S(e_j)]_B\)，故 \([T(e_j)]_B=[S(e_j)]_B\)。
3. 同一组基下坐标表示唯一，所以 \(T(e_j)=S(e_j)\)。
4. 任取 \(x\in V\)，写成 \(x=\sum_{j=1}^n a_je_j\)。由线性性，\(T(x)=\sum a_jT(e_j)=\sum a_jS(e_j)=S(x)\)。
5. 因此对任意 \(x\in V\) 都有 \(T(x)=S(x)\)，从而 \(T=S\)。

易错点

• 不能只写“矩阵相同所以变换相同”
• 必须说明任意向量为何也有相同的像

题目：设线性变换 \(T\) 在旧基 \(E\) 下的矩阵为 \(A\)，在新基 \(F\) 下的矩阵为 \(C\)。若 \(P\) 的列是新基向量在旧基下的坐标，证明 \(C=P^{-1}AP\)。

证明入口：\(P\) 的列是新基在旧基下坐标，先写任意 x 的两种坐标关系。

关键中间步骤

1. 写坐标关系：\([x]_E=P[x]_F\)。
2. 旧基下作用 \(T\)：\([T(x)]_E=AP[x]_F\)。
3. 新基下作用 \(T\)：\([T(x)]_E=PC[x]_F\)。
4. 比较并消去：\(PC=AP\)，所以 \(C=P⁻¹AP\)。

完整证明

1. 任取 \(x\in V\)。由 \(P\) 的列的定义，有 \([x]_E=P[x]_F\)。
2. 在旧基下先作用 \(T\)，得到 \([T(x)]_E=A[x]_E=AP[x]_F\)。
3. 另一方面，\([T(x)]_F=C[x]_F\)，再由新坐标转成旧坐标得 \([T(x)]_E=P[T(x)]_F=PC[x]_F\)。
4. 因此对任意 \([x]_F\) 都有 \(AP[x]_F=PC[x]_F\)，故 \(AP=PC\)。
5. 过渡矩阵 \(P\) 可逆，左乘 \(P^{-1}\)，得到 \(C=P^{-1}AP\)。

易错点

• 不得直接背写公式
• 必须交代 \(P\) 的方向和左右乘顺序

题目：设 \(v_1,\ldots,v_m\) 分别是线性变换 \(T\) 属于两两不同特征值 \(\lambda_1,\ldots,\lambda_m\) 的特征向量。证明 \(v_1,\ldots,v_m\) 线性无关。

证明入口：对特征向量个数 m 作归纳，先说明 \(m=1\)。

关键中间步骤

1. 归纳设定：\(m=1\) 时 v₁≠0，结论成立。
2. 设线性组合为零：设 \(Σc_i v_i=0\)。
3. 消去最后一项：得到 \(Σ_{i<m}c_i(λ_i\)-\(λ_m)v_i=0\)。
4. 使用归纳假设：先得 \(c_i=0(i<m)\)，再由 \(c_m v_m=0\) 得 \(c_m=0\)。

完整证明

1. 对 \(m\) 作数学归纳法。\(m=1\) 时，特征向量 \(v_1\ne0\)，故结论成立。
2. 设结论对 \(m-1\) 个属于不同特征值的特征向量成立，并设 \(\sum_{i=1}^m c_iv_i=0\)。
3. 对等式作用 \(T\)，得 \(\sum_{i=1}^m c_i\lambda_i v_i=0\)。再减去 \(\lambda_m\sum_{i=1}^m c_iv_i=0\)，得到 \(\sum_{i=1}^{m-1}c_i(\lambda_i-\lambda_m)v_i=0\)。
4. 由归纳假设，\(v_1,\ldots,v_{m-1}\) 线性无关；又因 \(\lambda_i\ne\lambda_m\)，故 \(c_i=0\ (i<m)\)。
5. 代回原式得 \(c_mv_m=0\)。由于 \(v_m\ne0\)，所以 \(c_m=0\)。全部系数均为零，故这些特征向量线性无关。

易错点

• 不能把“特征值不同”直接当作线性无关
• 不能除以向量或省略归纳基础

题目：证明：若 \(n\) 阶矩阵 \(A\) 有 \(n\) 个两两不同的特征值，则 \(A\) 可对角化。

证明入口：为每个特征值选择什么向量？

关键中间步骤

1. 选取特征向量：取 \(Av_i=λ_i v_i\) 且 \(v_i\)≠0。
2. 得到一组基：不同特征值对应的特征向量线性无关，n 个向量构成一组基。
3. 组成可逆矩阵：\(P=(v\)₁,…\(,v_n)\) 的列线性无关。
4. 计算矩阵关系：\(AP=PD\)，故 \(P⁻¹AP=D\)。

完整证明

1. 设 \(\lambda_1,\ldots,\lambda_n\) 是 \(A\) 的两两不同特征值，分别取非零特征向量 \(v_i\)，使 \(Av_i=\lambda_i v_i\)。
2. 属于不同特征值的特征向量线性无关，因此 \(v_1,\ldots,v_n\) 是 \(n\) 维空间的一组基。
3. 令 \(P=(v_1,\ldots,v_n)\)，则 \(P\) 的列线性无关，所以 \(P\) 可逆。
4. 令 \(D=\operatorname{diag}(\lambda_1,\ldots,\lambda_n)\)。逐列比较可得 \(AP=(Av_1,\ldots,Av_n)=(\lambda_1v_1,\ldots,\lambda_nv_n)=PD\)。
5. 左乘 \(P^{-1}\) 得 \(P^{-1}AP=D\)，其中 \(D\) 为对角矩阵，故 \(A\) 可对角化。

易错点

• 不能只写“特征值不同所以可对角化”
• 必须构造 \(P\) 并说明其可逆

题目：设 \(V=U\oplus W\)。证明：每个 \(v\in V\) 都能唯一表示为 \(v=u+w\)，其中 \(u\in U,w\in W\)。

证明入口：直和条件中的哪一部分保证每个 v 能写成 u+w？

关键中间步骤

1. 证明存在：由 \(U+W=V\) 得到存在性。
2. 假设两种表示：设 \(v=u\)₁+w₁\(=u\)₂+w₂。
3. 把差放入交集：u₁-u₂\(=w\)₂-w₁∈\(U\)∩\(W\)。
4. 使用交为零：两差为零，故 u₁\(=u\)₂ 且 w₁\(=w\)₂。

完整证明

1. 任取 \(v\in V\)。因为 \(V=U\oplus W\)，所以 \(V=U+W\)，故存在 \(u\in U,w\in W\)，使 \(v=u+w\)。
2. 再证明唯一性。设 \(v=u_1+w_1=u_2+w_2\)，其中 \(u_1,u_2\in U\)，\(w_1,w_2\in W\)。
3. 移项得到 \(u_1-u_2=w_2-w_1\)。左边属于 \(U\)，右边属于 \(W\)，所以这个向量属于 \(U\cap W\)。
4. 由直和条件 \(U\cap W=\{0\}\)，可得 \(u_1-u_2=0\) 且 \(w_2-w_1=0\)。
5. 因此 \(u_1=u_2,w_1=w_2\)，表示唯一。存在性与唯一性均成立。

易错点

• 不能只证明存在性
• 不能用维数相加替代交为零，除非完整说明条件

题目：设 \(Q\) 是实正交矩阵。证明：对任意向量 \(x,y\)，有 \(\langle Qx,Qy\rangle=\langle x,y\rangle\)，并说明它保持向量长度。

证明入口：把 ⟨Qx,Qy⟩ 写成矩阵乘法。

关键中间步骤

1. 展开内积：⟨Qx,Qy⟩\(=(Qx)\)ᵀ(Qy)。
2. 整理转置：得到 xᵀQᵀQy。
3. 使用正交条件：Qᵀ\(Q=I\)，所以结果为 xᵀy。
4. 推出长度保持：令 \(y=x\) 得 \(||Qx||²=||x||²\)，故 \(||Qx||=||x||\)。

完整证明

1. 任取实向量 \(x,y\)。由内积定义，\(\langle Qx,Qy\rangle=(Qx)^T(Qy)\)。
2. 利用转置乘法规则，\((Qx)^T(Qy)=x^TQ^TQy\)。
3. 因为 \(Q\) 是正交矩阵，所以 \(Q^TQ=I\)。因此 \(x^TQ^TQy=x^TIy=x^Ty=\langle x,y\rangle\)。
4. 令 \(y=x\)，得到 \(\|Qx\|^2=\langle Qx,Qx\rangle=\langle x,x\rangle=\|x\|^2\)。
5. 范数非负，所以 \(\|Qx\|=\|x\|\)，即正交矩阵保持向量长度。

易错点

• 不能只说“正交变换当然保长度”
• 要区分 Qᵀ\(Q=I\) 与 Qᵀ\(=Q\)

题目：设 \(A\) 是实对称矩阵，\(v,w\) 分别属于不同特征值 \(\lambda,\mu\)。证明 \(v\perp w\)。

证明入口：计算 (Av)ᵀw，并用 \(Av=λv\)。

关键中间步骤

1. 从第一条特征关系出发：(Av)ᵀ\(w=λv\)ᵀw。
2. 利用对称性换边：(Av)ᵀ\(w=v\)ᵀAw。
3. 使用第二条特征关系：vᵀ\(Aw=\)μvᵀw。
4. 利用特征值不同：(λ-μ)vᵀ\(w=0\)，λ≠μ，故 vᵀ\(w=0\)。

完整证明

1. 由 \(Av=\lambda v\)，有 \((Av)^Tw=(\lambda v)^Tw=\lambda v^Tw\)。
2. 另一方面，\((Av)^Tw=v^TA^Tw\)。由于 \(A\) 为实对称矩阵，\(A^T=A\)，故 \((Av)^Tw=v^TAw\)。
3. 再由 \(Aw=\mu w\)，得到 \(v^TAw=\mu v^Tw\)。
4. 比较以上等式，得 \(\lambda v^Tw=\mu v^Tw\)，即 \((\lambda-\mu)v^Tw=0\)。
5. 因为 \(\lambda\ne\mu\)，所以 \(v^Tw=0\)，从而 \(v\perp w\)。

易错点

• 不可提前使用谱定理或正交对角化结论
• 必须用到 λ≠μ